微分方程欧拉二步公式中点公式推导

微分方程欧拉二步公式是解决一些特殊常系数微分方程的方法，其中的点公式是推导欧拉二步公式的关键之一。

首先，我们考虑如下形式的微分方程：

$$y''+ay'+by=0$$

其中，$a$和$b$均为常数。我们假设方程的解为$y(x)=e^$，代入微分方程中得到：

$$r^2e^+are^+be^=0$$

化简得到：

$$(r^2+ar+b)e^=0$$

由于$e^$不可能为0，因此：

$$r^2+ar+b=0$$

这是微分方程的特征方程。假设特征方程有两个不同的根$r_1$和$r_2$，那么方程的通解为：

$$y(x)=c_1e^+c_2e^$$

其中$c_1$和$c_2$为任意常数。如果特征方程只有一个重根$r_0$，那么方程的通解为：

$$y(x)=(c_1+c_2x)e^$$

其中$c_1$和$c_2$为任意常数。

接下来，我们考虑如何求解特征方程的根$r_1$和$r_2$。这时候就用到了欧拉二步公式中的点公式。点公式的表述如下：

设$y_1(x)$和$y_2(x)$是微分方程$y''+ay'+by=0$的两个线性无关解，$x_0$为自变量$x$的一点，则$y_1(x)$和$y_2(x)$在$x=x_0$处的值和导数可以用$y_1(x_0)$、$y_2(x_0)$、$y_1'(x_0)$和$y_2'(x_0)$来表示：

$$\beginy_1(x_0)=c_1\\y_2(x_0)=c_2\\y_1'(x_0)=\alpha c_1+\beta c_2\\y_2'(x_0)=\gamma c_1+\delta c_2\end$$

其中$\alpha$、$\beta$、$\gamma$和$\delta$是常数，满足$\alpha\delta-\beta\gamma\neq0$，且$c_1$和$c_2$是待定常数。

对于特征方程$r^2+ar+b=0$，我们假设其两个根分别为$r_1$和$r_2$，对应的两个解为$y_1(x)=e^$和$y_2(x)=e^$。我们选取$x_0=0$，根据点公式可以得到：

$$\beginy_1(0)=1\\y_2(0)=1\\\alpha y_1'(0)+\beta y_2'(0)=r_1\\\gamma y_1'(0)+\delta y_2'(0)=r_2\end$$

由于$y_1(x)$和$y_2(x)$是线性无关解，因此可以得到：

$$\beginy_1(0)&y_2(0)\\\alpha y_1'(0)+\beta y_2'(0)&\gamma y_1'(0)+\delta y_2'(0)\end\neq0$$

化简得到：

$$(\alpha-\delta)y_1'(0)+(\beta-\gamma)y_2'(0)=r_1-r_2$$

将$y_1'(0)=r_1e^=r_1$和$y_2'(0)=r_2e^=r_2$代入上式得到：

$$(\alpha-\delta)r_1+(\beta-\gamma)r_2=r_1-r_2$$

解方程组可以得到：

$$\begin\alpha=\dfrac\\\beta=\dfrac\\\gamma=\dfrac\\\delta=\dfrac\end$$

将$\alpha$、$\beta$、$\gamma$和$\delta$代入点公式中，可以得到：

$$\beginy_1(x_0)=c_1\\y_2(x_0)=c_2\\y_1'(x_0)=\dfrac\\y_2'(x_0)=\dfrac\end$$

这个点公式就是欧拉二步公式的关键之一，通过它我们可以求解特征方程的根，从而得到微分方程的通解。