海伦公式求四边形面积证明

海伦公式是用来求解任意三角形面积的公式，但是它也可以用来求解四边形面积。下面我们来证明海伦公式求解四边形面积的正确性。

首先，假设我们要求解的四边形的四个顶点依次为A、B、C、D，对角线AC和BD相交于点O。我们可以将四边形分成两个三角形ABC和ADC。

由于AC和BD互相垂直，所以AO和CO也互相垂直，同样BO和DO也互相垂直。我们可以将AO、BO、CO、DO分别表示为h1、h2、h3、h4，如图所示。


我们可以通过海伦公式求解三角形ABC和ADC的面积，分别表示为S1和S2。那么整个四边形的面积可以表示为S1+S2。

现在我们来求解S1和S2的面积。海伦公式可以表示为：S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中a、b、c分别为三角形的三条边，p为半周长。

对于三角形ABC，它的半周长为(p1 = (AB + BC + AC)/2)，三条边分别为AB、BC、AC，那么它的面积可以表示为：

S1 = √(p1(p1-AB)(p1-BC)(p1-AC))

同样地，对于三角形ADC，它的半周长为(p2 = (AD + DC + AC)/2)，三条边分别为AD、DC、AC，那么它的面积可以表示为：

S2 = √(p2(p2-AD)(p2-DC)(p2-AC))

我们可以将p1和p2表示为：

p1 = (AB + BC + AC)/2 = (AB + AC + CD + DA)/2

p2 = (AD + DC + AC)/2 = (DA + CD + AC + CB)/2

将p1和p2带入S1和S2的公式中，我们得到：

S1 = √((AB + AC + CD + DA)/2 × (AB + AC + CD - DA)/2 × (AB + AC - BC + DA)/2 × (BC + AC + CD - AB)/2)

S2 = √((DA + CD + AC + CB)/2 × (DA + CD + AC - CB)/2 × (DA + CB - AB + CD)/2 × (AB + AC + CD - DA)/2)

我们可以将S1和S2的公式进行化简，得到：

S1 = √((s-a)(s-b)(s-c+d)(s-c+d))/2

S2 = √((s-a+d-c)(s-a+d-c)(s-a)(s-b))/2

其中，s = (AB + BC + CD + DA)/2，表示整个四边形的半周长，d = BD，表示四边形的对角线长度。

将S1和S2的公式带入四边形面积的公式中，我们可以得到：

S = √((s-a)(s-b)(s-c+d)(s-c+d))/2 + √((s-a+d-c)(s-a+d-c)(s-a)(s-b))/2

将公式中的s、a、b、c、d分别表示为四边形的四条边和对角线的长度，我们可以得到：

S = √((s-a)(s-b)(s-c)(s-d))/2

这就是海伦公式求解四边形面积的公式。通过这个公式，我们可以方便地求解任意四边形的面积。